jumlah SEMUA pembahagi (termasuk n) sama dengan dua kali nombor itu
Nombor sempurna sama dengan jumlah semua pembahagi wajarnya (setiap pembahagi kecuali dirinya sendiri). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Nombor ini amat jarang: hanya 51 yang diketahui, semuanya genap, dan saiznya bertambah secara astronomi. Sama ada wujud sebarang nombor sempurna ganjil kekal sebagai salah satu masalah terbuka tertua dalam matematik.
Empat nombor sempurna yang pertama: potret pembahagi
Teorem Euclid-Euler: nombor sempurna genap ↔ perdana Mersenne
n ialah nombor sempurna genap ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
dengan 2^p − 1 ialah nombor perdana Mersenne
Euclid membuktikan arah →. Euler membuktikan ←. Kesemua 51 nombor sempurna yang diketahui ialah genap dan datang daripada formula ini. Sama ada nombor sempurna ganjil wujud atau tidak masih belum diketahui.
Nombor sempurna pada skala log: pertumbuhannya lebih pantas daripada eksponen
Nilai ditunjukkan sebagai log10. Walaupun pada skala log, setiap lonjakan tetap jauh lebih besar. Nombor sempurna ke-51 mempunyai lebih daripada 49 juta angka.
Nombor sempurna sama dengan jumlah pembahagi wajarnya: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclid menunjukkan bahawa 2^(p-1)*(2^p-1) ialah sempurna apabila 2^p-1 ialah nombor perdana. Euler membuktikan songsangnya: setiap nombor sempurna genap mempunyai bentuk ini. Sama ada wujud sebarang nombor sempurna ganjil ialah salah satu masalah tertua yang belum diselesaikan; belum ada satu pun ditemui. Hanya 51 nombor sempurna yang diketahui, semuanya genap, sepadan dengan 51 nombor perdana Mersenne yang diketahui.