√2 ialah panjang pepenjuru bagi satu segi empat sama unit. Letakkan segi empat sama yang sisi-sisinya panjang 1 di atas meja. Jarak dari satu bucu ke bucu bertentangan ialah tepat √2. Inilah Teorem Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
Golongan Pythagoras menemui sekitar 500 SM bahawa √2 tidak boleh dinyatakan sebagai pecahan p/q dengan p dan q ialah bilangan bulat. Bukti secara percanggahan itu sangat elegan: andaikan √2 = p/q dalam sebutan paling ringkas. Maka 2q² = p², jadi p² genap, maka p genap, tulis p = 2k. Kemudian 2q² = 4k², jadi q² = 2k², maka q juga genap. Ini bercanggah dengan p/q yang kononnya dalam sebutan paling ringkas. Oleh itu √2 ialah tak nisbah.
Konvergen daripada pecahan berlanjutan [1; 2, 2, 2, …]. Setiap pecahan ialah penghampiran nisbah terbaik dengan penyebut itu.
Konvergen punca kuasa dua 2 daripada pecahan berlanjutan
| pecahan | perpuluhan | ralat |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 ialah nombor algebra (ia memenuhi x² = 2) tetapi tak nisbah. Dalam trigonometri: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Siri kertas A (A4, A3, A2…) menggunakan nisbah 1:√2, supaya melipat helaian kepada dua memberikan perkadaran yang sama. Dikira hingga ketepatan penuh: 1.41421356237309504880168872…
Setiap segi tiga bersudut tegak mempunyai satu kaki sama dengan hipotenus sebelumnya dan satu kaki sama dengan 1. Hipotenus-hipotenusnya ialah √1, √2, √3, √4, √5… Kebanyakannya tak nisbah. √2 (merah) ialah yang pertama dibuktikan tak nisbah, oleh golongan Pythagoras sekitar 500 SM.
Punca kuasa dua bagi 2 ialah kira-kira 1.41421356237309504880. Ia ialah nombor pertama yang pernah dibuktikan tak nisbah, oleh orang Yunani purba sekitar 500 SM. Ia ialah nombor algebra, memenuhi x² = 2. Ia muncul sebagai panjang pepenjuru segi empat sama unit, dalam penalaan muzik temperamen sama rata (setiap semiton mendarab frekuensi dengan punca kuasa dua belas bagi 2), dalam dimensi kertas siri A (A4 dilipat menjadi A5, nisbahnya sama), dan dalam Teorem Pythagoras apabila kedua-dua kaki ialah sama panjang.
Punca Kuasa Dua bagi 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the pecahan berlanjutan.