Identiti Euler terbit daripada formula Euler: eix = cos(x) + i·sin(x). Dengan menetapkan x = π, kita mendapat eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, maka eiπ + 1 = 0.
eiθ menjejak bulatan unit. Putaran sebanyak π mendarat di −1. Tambah 1, dapat 0.
Ia menghubungkan aritmetik (0 dan 1), algebra (i), geometri (π), dan analisis (e) - empat cabang matematik yang berbeza - dalam satu persamaan yang sangat ringkas. Richard Feynman menyebutnya "formula yang paling luar biasa dalam matematik."
Leonhard Euler (1707–1783) menerbitkan formula eix = cos(x) + i·sin(x) dalam Introductio in analysin infinitorum (1748). Identiti ini ialah kes khas apabila x = π. Euler memperkenalkan atau mempopularkan notasi e, i, f(x), Σ, dan π.
Siri Taylor bagi eˣ boleh dikelompokkan kepada cos(π) bagi sebutan nyata dan i·sin(π) bagi sebutan khayal. Oleh sebab cos(π) = −1 dan sin(π) = 0, kita memperoleh e^(iπ) = −1, jadi e^(iπ) + 1 = 0.
Formula e^(i*theta) menjejak bulatan unit pada satah kompleks apabila theta bertambah. e^(i*pi) ialah putaran tepat π radian (180 darjah) dari 1, lalu mendarat di -1. Menambah 1 membawa anda kembali ke 0. Inilah sebabnya e^(i*pi) + 1 = 0: ia ialah setengah putaran pada satah kompleks yang dinyatakan sebagai satu persamaan.
e^(iθ) ialah operator putaran. Pada θ=π anda telah berputar tepat setengah bulatan. Titik 1 pada paksi nyata bergerak ke -1. Menambah 1 pada kedua-dua sisi memberi e^(iπ) + 1 = 0.
Identiti Euler e^(i*pi) + 1 = 0 menyatukan lima pemalar terpenting dalam matematik: e (asas logaritma semula jadi), i (unit khayal), pi (pemalar bulatan), 1 (identiti pendaraban), dan 0 (identiti penambahan). Ia terbit terus daripada formula Euler e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta): dengan meletakkan theta = pi, kita mendapat cos(pi) = -1 dan sin(pi) = 0. Ramai ahli matematik menganggapnya persamaan paling indah dalam keseluruhan subjek ini.