Satu nombor kompleks mempunyai dua bahagian: bahagian nyata dan bahagian imaginari. Unit imaginari i memenuhi i² = -1. Setiap nombor nyata ialah nombor kompleks dengan b = 0. Nombor kompleks memenuhi satu satah 2D dan bukannya satu garis 1D, lalu memberikan setiap persamaan polinomial tepat sebanyak darjahnya dalam bilangan punca.
Pendaraban dengan i ialah putaran lawan arah jam sebanyak 90 darjah. Mendarab dengan i dua kali (iaitu dengan i²) ialah putaran 180 darjah, yang menukar 1 menjadi -1. Jadi i² = -1 bukan helah algebra; ia ialah satu putaran.
Di atas nombor nyata, x²+1=0 tiada penyelesaian. Di atas nombor kompleks, ia mempunyai dua: i dan -i. Teorem Asas Algebra menyatakan: perluaskan kepada nombor kompleks dan setiap polinomial berdarjah n mempunyai tepat n punca.
Jadual yang menunjukkan polinomial atas nombor nyata berbanding nombor kompleks, membuktikan bahawa setiap polinomial darjah-n mempunyai tepat n akar kompleks
| POLINOMIAL | AKAR NYATA | KOMPLEKS |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 akar nyata | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 akar nyata | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 akar nyata | 4 |
| Setiap polinomial darjah-n mempunyai tepat n akar kompleks (mengira gandaan) |
Nombor kompleks memanjangkan garis nyata kepada satu satah 2D dengan memperkenalkan i, di mana i kuasa dua bersamaan -1. Setiap nombor kompleks z = a + bi mempunyai bahagian nyata a, bahagian imaginari b, modulus |z| = sqrt(a squared + b squared), dan argumen arg(z) = atan(b/a). Pendaraban dengan e^(i*theta) memutarkan sebanyak theta radian. Teorem Asas Algebra menyatakan bahawa setiap polinomial berdarjah n mempunyai tepat n punca kompleks dengan mengambil kira kemultiplikasian. Nombor kompleks ialah asas mekanik kuantum, pemprosesan isyarat, dan Identiti Euler.