Masalah Basel bertanya: apakah nilai tepat bagi 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Siri ini menumpu, tetapi kepada nilai apa? Pietro Mengoli mengemukakannya pada tahun 1650. Ia menggagalkan semua ahli matematik selama 84 tahun sehingga Euler menyelesaikannya pada tahun 1734 ketika berusia 28 tahun.
Jumlah-jumlah separa menghampiri π²/6 ≈ 1.6449 secara perlahan. Euler membuktikan pada tahun 1734 bahawa had ini sama dengan π²/6, lalu menghubungkan analisis dengan geometri.
Bukti Euler memfaktorkan siri Taylor bagi sin(x)/x sebagai hasil darab tak terhingga ke atas punca-puncanya ±π, ±2π, ±3π… Dengan membandingkan pekali x² dalam bentuk hasil darab dengan pekali Taylor, beliau memperoleh Σ 1/n² = π²/6 secara langsung. Ini salah satu pengiraan paling masyhur dalam matematik, dan sebab π muncul di sini bukan kebetulan: bulatan dan sfera mempunyai hubungan semula jadi dengan jumlah bilangan bulat melalui fungsi zeta Riemann.
Setiap sebutan 1/n² berkurang dengan cepat. Jumlahnya menumpu tepat kepada π²/6 ≈ 1.6449.
Keputusan ini mengitlakkan: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, dan semua nilai zeta genap ialah gandaan nisbah bagi kuasa-kuasa π. Nilai ganjil ζ(3), ζ(5), ζ(7)… jauh lebih misteri. Apéry membuktikan bahawa ζ(3) tak nisbah pada tahun 1978, tetapi tiada bentuk tertutup dalam sebutan π yang diketahui.
Kebarangkalian bahawa dua bilangan bulat yang dipilih secara rawak tidak mempunyai faktor sepunya (iaitu koprima) ialah tepat 6/π², iaitu songsang kepada π²/6. Nilainya kira-kira 60.8%. Ini menghubungkan masalah Basel secara langsung dengan teori nombor dan kebarangkalian.