Satu pecahan berlanjutan menyatakan nombor sebagai satu bilangan bulat ditambah songsangan bagi satu lagi pecahan berlanjutan. Setiap nombor nyata mempunyai pengembangan pecahan berlanjutan yang unik. Nombor nisbah tamat; nombor tak nisbah kuadratik berulang secara berkala; nombor transenden seperti pi tiada corak. Konvergen (penghampiran nisbah yang terbentuk dengan memotong pengembangan itu) terbukti sebagai penghampiran terbaik bagi sebarang nombor nisbah dengan penyebut sebesar itu.
Jadual yang membandingkan pecahan berlanjutan bagi phi, sqrt2, e dan pi, menunjukkan yang mana berkala dan yang mana tidak teratur
| PEMALAR | NOTASI PB | JENIS |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | berkala |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | berkala |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | berkala |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | berpola |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | tiada pola |
| Teorem: satu PB ialah berkala jika dan hanya jika nombor itu ialah tak nisbah kuadratik (Lagrange, 1770) | ||
| phi ialah yang paling "sukar" dihampiri: PB yang semuanya 1 memberi penumpuan yang paling buruk |
Jadual konvergen bagi pi yang menunjukkan penghampiran nisbah yang semakin tepat dengan penyebut kecil
| KONVERGEN | PERPULUHAN | RALAT |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 betul hingga 6 tempat perpuluhan dengan penyebut 3 angka sahaja |
Konvergen 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 berselang-seli di atas dan di bawah π. Setiap satunya ialah penghampiran nisbah terbaik dengan penyebut itu atau yang lebih kecil.
Setiap nombor nyata mempunyai pengembangan pecahan berlanjutan yang unik. Nombor nisbah mempunyai pengembangan terhingga. Nombor tak nisbah kuadratik (seperti sqrt(2) dan phi) mempunyai pengembangan yang akhirnya berkala. Nombor transenden seperti pi tidak menunjukkan corak. Konvergen bagi satu pecahan berlanjutan ialah penghampiran nisbah terbaik: 22/7 dan 355/113 ialah konvergen bagi pi, masing-masing sepadan dengannya hingga 2 dan 6 tempat perpuluhan. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] ialah nombor yang paling sukar dihampiri oleh pecahan, menjadikannya nombor yang paling tak nisbah dalam erti kata yang tepat.