Apakah Hasil Darab Wallis?

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)
π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ Wallis, 1655.

Hasil darab Wallis menulis π/2 sebagai hasil darab tak terhingga pecahan-pecahan ringkas: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Setiap nombor genap muncul dua kali, sekali lebih besar dan sekali lebih kecil daripada jirannya. Darabkan cukup banyak sebutan dan hasil darab itu menumpu kepada π/2 ≈ 1.5708.

Hasil darab separa Wallis yang menghampiri π/2
1.331.41.471.54π/2W(n)151014n

Hasil darab Wallis: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... Hasil darab separa menumpu kepada π/2 ≈ 1.5708 dari bawah, sambil berayun di sekitar had.

John Wallis menerbitkan formula ini pada tahun 1655 daripada kamiran ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, dengan membandingkan kes n genap dan ganjil. Apa yang menjadikannya luar biasa ialah ia memperoleh π daripada pendaraban tulen nombor nisbah, tanpa geometri yang jelas kelihatan. Hasil darab yang sama juga muncul daripada identiti fungsi Gamma: π = Γ(1/2)².

Hasil darab Wallis: pecahan genap berselang-seli
π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…
= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)
Wallis memperoleh ini pada tahun 1655 dengan membandingkan kamiran kuasa-kuasa sin(x). Ini ialah formula hasil darab pertama bagi π.

Hasil darab Wallis menumpu dengan sangat perlahan: selepas n pasangan, ralatnya berorde 1/(4n). Ia amat penting secara teori sebagai salah satu hasil darab tak terhingga pertama yang pernah dikaji, membuka jalan kepada analisis sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) dan seluruh teori hasil darab tak terhingga dalam analisis kompleks.

Kamiran sin^n(x) dari 0 hingga π/2: corak genap/ganjil menghasilkan Wallis
0.530.881.221.57∫₀^(π/2) sinⁿx dx0235n

n genap: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. n ganjil: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. Nisbah kamiran berjiran I(2n)/I(2n+1) → 1, lalu menghasilkan hasil darab Wallis.

Topik berkaitan
Pi Teorem Asas Kalkulus Siri Taylor
Digunakan dalam
Matematik
Fizik
Teknik
🧬Biologi
💻Ilmu Komputer
📊Statistik
📈Kewangan
🎨Seni
🏛Seni bina
Muzik
🔐Kriptografi
🌌Astronomi
Kimia
🦉Falsafah
🗺Geografi
🌿Ekologi
Want to test your knowledge?
Question
Siapakah yang menemui hasil darab Wallis dan bila?
tap · space
1 / 10