Siri harmonik ialah jumlah semua pecahan unit. Setiap sebutan 1/n menuju ke sifar, yang mungkin mencadangkan jumlah itu menumpu, tetapi sebenarnya tidak. Buktinya menggunakan pengelompokan: 1/3+1/4 > 1/2, kemudian 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, dan setiap kumpulan sedemikian menambah sekurang-kurangnya 1/2, jadi jumlah keseluruhannya melebihi sebarang had. Namun, ia mencapah dengan kelambatan yang luar biasa: untuk mencapai jumlah separa 100 memerlukan lebih banyak sebutan daripada bilangan atom dalam alam semesta yang dapat diperhatikan.
H(n) dan ln(n) membesar bersama, sentiasa berbeza kira-kira sebanyak γ ≈ 0.5772. Kedua-duanya mencapah: untuk mencapai H(n) = 100 memerlukan kira-kira 10^43 sebutan.
Kira-kira 10^43 sebutan diperlukan untuk mencapai H(n)=100. Lebih banyak daripada atom dalam alam semesta boleh cerap.
Siri harmonik 1 + 1/2 + 1/3 + ... mencapah, dibuktikan oleh Nicole Oresme sekitar tahun 1350. Walaupun setiap sebutan menuju ke sifar, jumlahnya melebihi sebarang had. Jumlah separa bertumbuh seperti ln(n) + gamma, dengan gamma ≈ 0.5772 sebagai pemalar Euler-Mascheroni. Selepas sejuta sebutan, jumlahnya hanya sekitar 14. Untuk mencapai 100 memerlukan lebih daripada 10^43 sebutan. Siri berselang-seli 1 - 1/2 + 1/3 - ... pula menumpu kepada ln 2.