Jumlahkan songsang bagi semua nombor perdana hingga n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Jumlah ini bertambah, tetapi amat perlahan: seperti ln(ln(n)). Pemalar Meissel-Mertens M ialah jurang tepat antara jumlah ini dan sebutan dominannya, sama seperti pemalar Euler-Mascheroni γ ialah jurang antara siri harmonik dan ln(n).
Euler membuktikan pada tahun 1737 bahawa jumlah semua songsang nombor perdana mencapah. Ini jauh lebih sukar daripada sekadar membuktikan bahawa nombor perdana ialah tak terhingga banyaknya, dan ia memberikan ukuran kuantitatif tentang ketumpatan nombor perdana. Teorem Mertens kemudian menyatakan bahawa Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), dengan M sebagai sebutan pemalar yang tepat.
Perbandingan sebelah menyebelah antara pemalar Euler-Mascheroni dan Meissel-Mertens
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| Semua bilangan bulat | Perdana sahaja |
M dan γ berkaitan melalui M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Sama ada salah satu daripadanya tak nisbah masih belum diketahui. Kedua-duanya telah dikira hingga berbilion tempat perpuluhan dan dipercayai transenden, tetapi tiada bukti bagi salah satunya. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Jumlah harmonik (biru): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Jumlah songsang perdana (tumbuh seperti ln(ln(n))+M): hanya 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 pada titik yang sama.
Pemalar Euler-Mascheroni gamma mengukur jurang antara siri harmonik (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) dan ln(n). Pemalar Meissel-Mertens M memainkan peranan yang sama bagi jumlah songsang nombor perdana (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) berbanding ln(ln(n)). Kedua-duanya ialah pemalar “pembetulan ralat” bagi siri mencapah yang tumbuh secara logaritma.
Pemalar Meissel-Mertens M ≈ 0.26149 memainkan peranan yang sama bagi songsang nombor perdana seperti pemalar Euler-Mascheroni bagi siri harmonik. Mertens membuktikan pada tahun 1874 bahawa 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + ralat kecil. Sama ada M tak nisbah masih belum diketahui. Ia muncul dalam teorem Mertens tentang hasil darab nombor perdana dan dalam ketumpatan nombor licin. M dan gamma berkaitan melalui satu jumlah khusus ke atas semua nombor perdana.