Fungsi zeta Riemann ialah ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler mengkaji versi nyatanya dan menemui ζ(2) = π²/6 (masalah Basel) serta formula hasil darab ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) ke atas semua nombor perdana. Riemann melanjutkan fungsi ini kepada nombor kompleks dalam makalah terkenalnya pada tahun 1859.
Jadual nilai fungsi zeta pada bilangan bulat genap
| s | ζ(s) | bentuk tepat |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | tidak diketahui (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | punca trivial |
Wawasan utama Riemann ialah melanjutkan ζ(s) kepada s kompleks; punca tak trivialnya (di mana ζ(s) = 0 dengan 0 < Re(s) < 1) mengawal taburan nombor perdana. Setiap punca menyumbang ayunan kepada fungsi pengiraan nombor perdana. Riemann meneka pada tahun 1859 bahawa semua punca tak trivial terletak pada garis Re(s) = 1/2. Inilah Hipotesis Riemann.
Lebih 10 trilion punca tak trivial telah disahkan terletak pada Re(s) = 1/2. Tiada contoh balas pernah ditemui. Clay Mathematics Institute menawarkan hadiah $1 juta untuk satu bukti (atau sanggahan). Satu bukti akan memberikan had paling tajam yang mungkin bagi ralat dalam taburan nombor perdana. Hipotesis Riemann kekal belum dibuktikan selama 165 tahun.
Fungsi zeta Riemann memenuhi satu simetri: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Ini melanjutkan zeta kepada semua nombor kompleks s (kecuali s = 1) dan mengaitkan nilai pada s dengan nilai pada 1-s. Ia menunjukkan punca tak trivial datang secara berpasangan: jika s satu punca, maka 1-s juga punca. Punca trivial pada s = -2, -4, -6, ... datang daripada faktor sin(pi*s/2).
Fungsi zeta Riemann ialah zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler menilainya pada bilangan bulat genap: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann melanjutkannya kepada s kompleks pada tahun 1859 dan meneka bahawa semua punca tak trivial terletak pada Re(s) = 1/2. Hipotesis Riemann ini masih belum dibuktikan selepas 165 tahun dan merupakan masalah Hadiah Milenium Clay bernilai $1 juta. Lebih 10 trilion punca telah disahkan pada garis kritikal. Punca-punca ini mengawal taburan nombor perdana: setiap punca menyumbang satu ayunan kepada fungsi pengiraan perdana.