Teorem De Moivre menyatakan bahawa menaikkan satu titik pada bulatan unit kepada kuasa n hanya mendarabkan sudutnya dengan n. Jika anda bermula pada sudut θ dan mengenakan operasi itu n kali, anda berakhir pada sudut nθ. Inilah inti geometri aritmetik nombor kompleks.
Bermula pada sudut θ=40° pada bulatan unit. Kuasa dua menggandakan sudut kepada 80° (hijau). Kuasa tiga menggandakannya kepada 120° (merah). Titik itu hanya berputar: jaraknya dari asalan kekal 1.
Teorem ini terbit terus daripada formula Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Naikkan kedua-dua belah kepada kuasa n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre menyatakan hasilnya pada tahun 1707, 41 tahun sebelum Euler menerbitkan formula tersebut, yang membuatkan buktinya terasa seperti sihir berbanding mekanik biasa.
Punca ke-6 bagi kesatuan membentuk heksagon sekata pada bulatan unit. Secara umum, punca ke-n bagi z^n = 1 sentiasa membentuk n-gon sekata, dipisahkan sama rata pada sudut 2πk/n = τk/n.
Teorem De Moivre ialah alat utama untuk mengira kuasa dan punca nombor kompleks, menerbitkan formula sudut berbilang (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), dan mencari n punca ke-n yang sama jarak bagi mana-mana nombor kompleks. Ia menghubungkan algebra nombor kompleks dengan geometri putaran.
Apabila anda mendarab dua nombor kompleks, sudutnya (argumen) bertambah dan magnitudnya didarab. Jika kedua-duanya berada pada bulatan unit (magnitud 1), hanya sudut yang berubah. Mendarab n kali menambah sudut n kali: itulah teorem De Moivre.
Teorem De Moivre menunjukkan bahawa cos(n*theta) sentiasa boleh ditulis sebagai satu polinomial dalam cos(theta). Inilah polinomial Chebyshev T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Contohnya, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, jadi T_2(x) = 2x^2 - 1. Ia muncul dalam analisis berangka, reka bentuk penapis, dan teori penghampiran.