Siri Taylor menyatakan sebarang fungsi licin sebagai polinomial tak terhingga. Setiap pekali ialah satu terbitan: sebutan ke-n ialah f⁽ⁿ⁾(a)/n! didarab dengan (x-a)ⁿ. Bagi fungsi yang baik seperti eˣ, sin(x), dan cos(x), siri itu menumpu kepada nilai tepat fungsi di mana-mana.
Setiap sebutan tambahan melanjutkan penghampiran lebih jauh. Dengan menambah lebih banyak sebutan: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Tiga siri Maclaurin yang paling penting: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (menumpu di mana-mana); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (menumpu di mana-mana); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (menumpu di mana-mana). Menggantikan x = iπ ke dalam siri eˣ menghasilkan identiti Euler.
Jadual siri Maclaurin
| f(x) | Siri | Jejari |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor menyatakan teorem umum itu pada tahun 1715; kes khas yang berpusat di 0 dipopularkan oleh Colin Maclaurin pada tahun 1742. Setiap kalkulator dan komputer menggunakan siri Taylor untuk menilai fungsi transenden. Ralat selepas n sebutan dihadkan oleh baki Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ maks|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Setiap pasangan sebutan menambah satu lagi aras ketepatan.
Siri Taylor mewakili fungsi licin sebagai polinomial tak terhingga: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Pekalinya ialah terbitan pada titik pusat a. Siri Maclaurin berpusat di 0. Tiga siri utama menumpu di mana-mana: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Menggantikan x = i*pi dalam siri e^x membuktikan identiti Euler. Setiap kalkulator menggunakan siri Taylor secara dalaman untuk menilai fungsi transenden.