Tulis π(n) bagi bilangan nombor perdana hingga n. Teorem Nombor Perdana menyatakan bahawa π(n) tumbuh seperti n/ln(n). Apabila n semakin besar, kira-kira 1 dalam setiap ln(n) nombor berhampiran n ialah nombor perdana. Berhampiran satu juta, lebih kurang 1 dalam 14 nombor ialah perdana. Berhampiran satu bilion, 1 dalam 21.
π(n) mengira nombor perdana hingga n (tangga biru). Teorem Nombor Perdana menyatakan π(n) ~ n/ln(n) – nisbahnya → 1 apabila n → ∞. Kamiran logaritma Li(n) lebih hampir lagi.
Gauss meneka keputusan ini sekitar tahun 1800 selepas mengkaji jadual nombor perdana. Ia dibuktikan secara bebas pada tahun 1896 oleh Jacques Hadamard dan Charles-Jean de la Vallée Poussin, kedua-duanya menggunakan fungsi zeta Riemann dan analisis kompleks. Satu bukti benar-benar asas (tanpa analisis kompleks) ditemui secara bebas oleh Selberg dan Erdős pada tahun 1948.
Jadual yang menunjukkan ketumpatan nombor perdana pada pelbagai skala
| Sehingga n | Perdana π(n) | Ketumpatan ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 dalam 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 dalam 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 dalam 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 dalam 28 |
Hipotesis Riemann akan memberikan had paling tajam bagi ralat: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Tanpanya, kita hanya tahu bahawa ralat itu ialah o(n/ln(n)). Inilah sebabnya Hipotesis Riemann merupakan masalah terbuka paling penting dalam matematik: ia akan memberitahu kita dengan tepat sejauh mana jurang nombor perdana dapat diramalkan.
Satu penghampiran yang lebih tepat kepada pi(n) berbanding n/ln(n) ialah kamiran logaritma Li(n) = kamiran dari 2 hingga n bagi dt/ln(t). Gauss lebih menyukai bentuk ini. Bagi n = 1,000,000: n/ln(n) memberikan 72,382 manakala Li(n) memberikan 78,628, berbanding kiraan tepat 78,498. Ralat Li(n) jauh lebih kecil. Hipotesis Riemann akan mengehadkan ralat ini dengan tepat pada sqrt(n) * ln(n).