ζ(3) là giá trị của hàm zeta Riemann tại 3: tổng của 1/n³ trên mọi số nguyên dương. Với các giá trị chẵn, Euler đã tìm ra những dạng khép kín đẹp mắt: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Với các giá trị lẻ thì không có công thức tương tự nào được biết. ζ(3) là trường hợp nổi tiếng nhất trong những giá trị lẻ này.
z(3) nằm giữa hai giá trị có dạng khép kín liên quan đến pi. Liệu z(3) có liên hệ đơn giản nào với pi hay không vẫn chưa biết.
Năm 1978, Roger Apéry công bố một chứng minh rằng ζ(3) là số vô tỉ. Khán giả khi đó hoài nghi. Henri Cohen và nhiều nhà toán học khác chạy về nhà để kiểm tra bằng máy tính suốt đêm. Sáng hôm sau họ xác nhận chứng minh là đúng. Đó là một trong những bất ngờ lớn nhất của lý thuyết số hiện đại.
Các tổng riêng 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... tiến tới ζ(3) ≈ 1.20206 từ bên dưới. Hội tụ chậm: ngay cả ở n=50, tổng vẫn còn cách khoảng 0.003.
Liệu ζ(3) có thể biểu diễn theo π hay không là câu hỏi mở nổi bật nhất. Mọi giá trị zeta chẵn đều là bội hữu tỉ của lũy thừa π tương ứng. Các giá trị zeta lẻ dường như sống trong một thế giới khác. Người ta biết rằng có vô số giá trị zeta lẻ là vô tỉ, nhưng với từng giá trị riêng lẻ thì hiểu biết còn rất mỏng.
ζ(2k) = số hữu tỉ × π^(2k) với mọi k ≥ 1. Không hề biết công thức tương tự cho ζ(3), ζ(5), ζ(7), …
Bảng cho thấy zeta tại các số nguyên chẵn có dạng phân số của pi, còn tại các số lẻ thì chưa biết
| s chẵn: công thức chính xác | s lẻ: bí ẩn |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irtỷ lệnal (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irtỷ lệnal? unknown |
| All = tỷ lệnal × π^s | No π connection known |
Chưa biết. Roger Apéry chứng minh năm 1978 rằng zeta(3) là vô tỉ, nhưng việc nó có phải là siêu việt hay không vẫn là một bài toán mở. Nhiều người tin là có, nhưng chưa có chứng minh.
Trong điện động lực học lượng tử (các hiệu chỉnh cho mômen từ của electron), lý thuyết ma trận ngẫu nhiên và entropy của mô hình Ising hai chiều. Nó xuất hiện khắp nơi trong các phép tính nhiễu loạn.
Ramanujan đã tìm ra các chuỗi hội tụ rất nhanh cho zeta(3), bao gồm các công thức có 7pi^3/180 và các tổng theo hàm mũ. Sổ tay của ông chứa nhiều đẳng thức về zeta(3) từ nhiều thập kỷ trước chứng minh của Apéry.
Các số nguyên A(n) = tổng của C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 theo k, xuất hiện trong chứng minh tính vô tỉ của Apéry. Một vài số đầu là 1, 5, 73, 1445, 33001. Chúng thỏa một truy hồi và kết hợp với một dãy khác để hội tụ về zeta(3).
Hằng số Apéry zeta(3) là tổng 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Với các giá trị chẵn của s, Euler tìm được các dạng khép kín liên quan đến pi; với s lẻ thì không. Roger Apéry đã chứng minh năm 1978 rằng zeta(3) là vô tỉ. Việc nó có thể được biểu diễn qua pi hoặc có phải là siêu việt hay không vẫn là bài toán mở.