Toán học đã xây dựng năm hệ thống số chính, mỗi hệ là một phần mở rộng của hệ trước đó. Mỗi phần mở rộng đều được thúc đẩy bởi một phương trình chưa có lời giải: "3-5 bằng bao nhiêu?" dẫn đến số nguyên; "1/3 bằng bao nhiêu?" dẫn đến số hữu tỉ; "sqrt(2) bằng bao nhiêu?" dẫn đến số thực; "sqrt(-1) bằng bao nhiêu?" dẫn đến số phức.
Bảng cho thấy các tính chất đạt được và đánh đổi khi mở rộng các hệ số
| SYSTEM | GAINED | LOST/CHANGED |
|---|---|---|
| N (naturals) | counting, +, x | no subtraction |
| Z (số nguyên) | subtraction, negatives | no division |
| Q (số hữu tỉ) | division, fractions | no sqrt(2) |
| R (reals) | all limits, sqrt(2), pi | no sqrt(-1) |
| C (complex) | all polynomial roots | algebraically closed |
| H (quaternions) | 3D rotations | ab not = ba |
| Each extension is a genuine enlargement, not just renaming |
Xanh lam: số tự nhiên ℕ. Xanh lục thêm số 0. Tím mở rộng sang các số nguyên âm ℤ. Cam thêm các phân số ℚ. Đỏ: các số vô tỉ lấp đầy phần còn lại của ℝ.
Toán học có năm hệ thống số chính: số tự nhiên N (đếm, không có phép trừ), số nguyên Z (thêm phép trừ và số âm), số hữu tỉ Q (thêm phép chia), số thực R (thêm giới hạn và số vô tỉ), số phức C (thêm sqrt(-1)). Mỗi phần mở rộng giải được một phương trình không thể giải trong hệ trước đó. Số phức là hệ đóng đại số: mọi phương trình đa thức đều có nghiệm trong C. Quan hệ bao hàm là chặt: N nằm trong Z nằm trong Q nằm trong R nằm trong C, với các số siêu việt lấp đầy vành ngoài của R.