Mọi số thực đều có những xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất: các phân số p/q gần x hơn bất kỳ phân số nào có mẫu số nhỏ hơn. Các mẫu số q₁, q₂, q₃, … tăng lên, nhưng chúng tăng nhanh đến mức nào? Với gần như mọi số thực, ln(qₙ)/n hội tụ về cùng một hằng số β. Đó là hằng số Lévy.
Với gần như mọi số thực, ln(qₙ) tăng gần tuyến tính với hệ số góc β ≈ 1.1865. Các mẫu số của các hội tụ của π (1,7,106,113,33102…) tăng nhanh hơn trung bình do thương riêng lớn 292.
Tỉ lệ vàng φ = [1;1,1,1,…] có các mẫu số Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … tăng với tốc độ φ ≈ 1.618 mỗi bước. Điều này chậm hơn rất nhiều so với e^β ≈ 3.276, vì thế φ là số “khó xấp xỉ” nhất bằng các phân số hữu tỉ: các hội tụ của nó tăng chậm nhất có thể.
So sánh tốc độ tăng của các mẫu số đối với tỉ lệ vàng và một số điển hình
| φ = [1;1,1,1,…] | Số điển hình |
|---|---|
| qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Slowest possible growth | Lévy's theorem |
Giá trị β = π²/(12 ln 2) xuất hiện từ việc tích phân phân phối Gauss–Kuzmin. ln 2 đến từ việc làm việc với cơ số 2, còn π² phát sinh từ cùng nguồn với ζ(2) = π²/6. Hằng số này vì thế kết nối phân số liên tục, xác suất, động lực ergodic và lý thuyết số cổ điển.
Thương riêng 292 ở bước 5 làm các mẫu số của π tăng nhanh hơn nhiều so với trung bình. Với một số “điển hình”, tỉ số ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
| n | Thương riêng aₙ | Hội tụ pₙ/qₙ | Mẫu số qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Hằng số Lévy beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657. Với gần như mọi số thực, mẫu số của hội tụ thứ n trong phân số liên tục tăng về cơ bản như e^(beta n). Điều đó có nghĩa là các xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất thường trở nên rất tốt rất nhanh. Tỉ lệ vàng là ngoại lệ nổi tiếng: nó có sự tăng trưởng hội tụ chậm nhất có thể và vì thế là số khó xấp xỉ nhất bằng phân số. Hằng số Lévy gắn lý thuyết phân số liên tục với xác suất và động lực học hỗn độn.