Trong mọi tam giác vuông, hình vuông dựng trên cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) có diện tích bằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh còn lại. Nếu hai cạnh góc vuông là a và b, còn cạnh huyền là c, thì a² + b² = c².
a² + b² = c². Với tam giác 3-4-5: 9 + 16 = 25. Hai hình vuông màu xanh dương và đỏ cộng lại đúng bằng diện tích của hình vuông màu xanh lá.
Các bảng đất sét Babylon từ khoảng năm 1900 TCN đã liệt kê các bộ ba Pythagoras như (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), cho thấy kết quả này đã được biết một cách thực nghiệm từ rất lâu trước Pythagoras. Trường phái của ông (khoảng năm 500 TCN) thường được gắn với chứng minh suy diễn đầu tiên.
Bảng các bộ ba Pythagoras
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
Trong n chiều, khoảng cách từ gốc tọa độ đến (x₁, x₂, …, xₙ) là √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Định lý cuối cùng của Fermat (được Andrew Wiles chứng minh năm 1995 sau 358 năm) cho thấy không tồn tại nghiệm nguyên khác 0 nào cho aⁿ + bⁿ = cⁿ khi n > 2. Đó là điểm mà mô hình Pythagoras chấm dứt.
Cả hai hình vuông lớn đều có kích thước (a+b)×(a+b). Cả hai đều chứa bốn tam giác vuông giống hệt nhau. Phần còn lại ở hình vuông bên trái là c². Phần còn lại ở hình vuông bên phải là a² + b². Vì diện tích tổng thể bằng nhau nên c² = a² + b².
Trong bất kỳ tam giác vuông nào: a^2 + b^2 = c^2. Người Babylon đã biết kết quả này theo kinh nghiệm vào khoảng năm 1800 TCN; chứng minh suy diễn đầu tiên thường được gán cho trường phái Pythagoras. Nó mở rộng thành công thức khoảng cách Euclid trong mọi chiều và là một nền tảng của hình học, lượng giác và vật lý.