Đồng nhất thức Euler suy ra từ công thức Euler: eix = cos(x) + i·sin(x). Đặt x = π ta được eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, nên eiπ + 1 = 0.
eiθ vạch ra đường tròn đơn vị. Quay một góc π sẽ dừng ở −1. Cộng 1, được 0.
Nó kết nối số học (0 và 1), đại số (i), hình học (π) và giải tích (e) — bốn nhánh khác nhau của toán học — trong một phương trình duy nhất với sự đơn giản gây kinh ngạc. Richard Feynman gọi nó là "công thức đáng chú ý nhất trong toán học."
Leonhard Euler (1707–1783) đã công bố công thức eix = cos(x) + i·sin(x) trong tác phẩm Introductio in analysin infinitorum (1748). Đồng nhất thức này là trường hợp đặc biệt tại x = π. Euler đã giới thiệu hoặc phổ biến các ký hiệu e, i, f(x), Σ và π.
Chuỗi Taylor của eˣ tách thành cos(π) cho các phần thực và i·sin(π) cho các phần ảo. Vì cos(π) = −1 và sin(π) = 0, ta thu được e^(iπ) = −1, nên e^(iπ) + 1 = 0.
Công thức e^(i*theta) vạch ra một đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức khi theta tăng lên. e^(i*pi) là một phép quay đúng pi radian (180 độ) tính từ 1, đưa ta đến -1. Cộng thêm 1 thì trở về 0. Đó là lý do e^(i*pi) + 1 = 0: đó là nửa vòng quay của mặt phẳng phức được biểu diễn thành một phương trình.
e^(iθ) là một toán tử quay. Tại θ=π, bạn đã quay đúng nửa vòng tròn. Điểm 1 trên trục thực đi đến -1. Cộng 1 vào hai vế ta được e^(iπ) + 1 = 0.
Đẳng thức Euler e^(i*pi) + 1 = 0 kết nối năm hằng số quan trọng nhất trong toán học: e (cơ số của logarit tự nhiên), i (đơn vị ảo), pi (hằng số đường tròn), 1 (phần tử đơn vị của phép nhân) và 0 (phần tử đơn vị của phép cộng). Nó suy ra trực tiếp từ công thức Euler e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) khi đặt theta = pi. Vì cos(pi) = -1 và sin(pi) = 0 nên ta có e^(i*pi) = -1. Lần đầu được Euler công bố khoảng năm 1748. Được bình chọn là phương trình đẹp nhất trong toán học qua nhiều cuộc thăm dò.