Hàm zeta Riemann là ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler đã nghiên cứu phiên bản thực của nó và tìm ra ζ(2) = π²/6 (bài toán Basel) cùng công thức tích ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) chạy trên mọi số nguyên tố. Riemann mở rộng hàm này sang biến phức và biến nó thành tâm điểm của lý thuyết số giải tích.
Bảng các giá trị của hàm zeta tại các số nguyên chẵn
| s | ζ(s) | dạng chính xác |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | tầm thường nghiệm không |
Ý tưởng then chốt của Riemann: khi mở rộng ζ(s) sang s phức, các zero không tầm thường (nơi ζ(s) = 0 với 0 < Re(s) < 1) điều khiển sự phân bố của các số nguyên tố. Mỗi zero đóng góp một dao động vào hàm đếm số nguyên tố. Hiểu được vị trí của các zero đó đồng nghĩa với hiểu được mức độ đều đặn hay bất quy tắc của các khoảng trống nguyên tố.
Hơn 10 nghìn tỷ zero không tầm thường đã được kiểm tra và đều nằm trên Re(s) = 1/2. Chưa từng tìm thấy phản ví dụ. Viện Toán học Clay treo giải 1 triệu USD cho một chứng minh (hoặc phản chứng). Một chứng minh sẽ cho các cận sắc nhất cho sai số trong định lý số nguyên tố.
Hàm zeta Riemann thỏa một đối xứng: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Điều này mở rộng zeta ra toàn bộ mặt phẳng phức (trừ một cực đơn tại s=1) và phản xạ các giá trị qua đường Re(s)=1/2.
Hàm zeta Riemann là zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler đã tính nó tại các số nguyên chẵn: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90, v.v. Riemann mở rộng nó sang số phức và nhận ra rằng các zero không tầm thường của nó chi phối cách các số nguyên tố được phân bố. Giả thuyết Riemann khẳng định mọi zero như vậy đều nằm trên đường Re(s)=1/2.