Một số phức có hai phần: phần thực và phần ảo. Đơn vị ảo i thỏa i² = -1. Mọi số thực đều là một số phức với b = 0. Số phức lấp đầy một mặt phẳng 2D thay vì một đường thẳng 1D, nhờ đó mọi phương trình đa thức đều có đúng số nghiệm bằng bậc của nó.
Nhân với i là một phép quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ. Nhân với i hai lần (tức là với i²) là một phép quay 180 độ, biến 1 thành -1. Vì thế i² = -1 không phải là một mẹo đại số; nó là một phép quay.
Trên tập số thực, x²+1=0 không có nghiệm. Trên tập số phức, nó có hai nghiệm: i và -i. Định lý cơ bản của đại số nói rằng: mở rộng sang số phức và mọi đa thức bậc n sẽ có đúng n nghiệm.
Bảng so sánh các đa thức trên số thực với số phức, cho thấy mọi đa thức bậc n đều có đúng n nghiệm phức
| ĐA THỨC | NGHIỆM THỰC | SỐ PHỨC |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 nghiệm thực | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 nghiệm thực | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 nghiệm thực | 4 |
| Mọi đa thức bậc n đều có đúng n nghiệm phức (tính cả bội số) |
Số phức mở rộng trục số thực thành một mặt phẳng 2D bằng cách đưa vào i, trong đó i bình phương bằng -1. Mọi số phức z = a + bi có phần thực a, phần ảo b, môđun |z| = sqrt(a bình phương + b bình phương), và đối số arg(z) = atan(b/a). Phép nhân với e^(i*theta) quay đi theta radian. Định lý cơ bản của đại số phát biểu rằng mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức tính cả bội số. Số phức là nền tảng của cơ học lượng tử, xử lý tín hiệu và đẳng thức Euler.