Tỉ lệ bạc δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421 là nghiệm dương của x² = 2x + 1. Nó là thành viên thứ hai của họ các “tỉ lệ kim loại”: tỉ lệ vàng thỏa x² = x + 1 (mọi hệ số đều bằng 1), còn tỉ lệ bạc thay số 1 ở giữa bằng 2. Nó xuất hiện tự nhiên trong hình học của bát giác đều, trong số Pell và trong tỉ lệ giấy 1:√2.
Các số Pell 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… được xác định bởi Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂. Tỉ số của chúng hội tụ về δₛ, giống như tỉ số Fibonacci hội tụ về φ. Tỉ lệ bạc chi phối tốc độ tăng trưởng của nhiều bài toán “bậc hai” tự nhiên hơn là kiểu tăng trưởng “bậc một” của tỉ lệ vàng.
Đường chéo màu đỏ nối hai đỉnh cách nhau 3 đỉnh (bỏ qua 2). Cạnh màu xanh là một cạnh của bát giác. Tỉ số của chúng chính xác bằng 1 + √2 ≈ 2.414, tức tỉ lệ bạc. Đây là phép tương tự của bát giác đối với tỉ lệ vàng trong ngũ giác.
Tỉ lệ bạc có tính tự đồng dạng: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯)). Nếu bỏ đi hai hình vuông đơn vị khỏi một hình chữ nhật δₛ × 1, ta được một hình chữ nhật nhỏ hơn có cùng tỉ lệ. Đây là đối ứng của tỉ lệ bạc với “hình chữ nhật vàng”.
A0, A1, A2… mỗi tờ đều bằng một nửa tờ trước. Tỉ lệ 1:√2 là tỉ lệ duy nhất sống sót khi bị gập đôi. Gập một tờ 1:√2, bạn được một tờ √2:1 – cùng một tỉ lệ.