Hàm e^(−x²) là đường cong hình chuông: nó đạt đỉnh bằng 1 khi x = 0 và giảm đối xứng về 0 theo cả hai phía. Diện tích dưới nó trên toàn bộ trục số thực chính xác bằng √π ≈ 1.7724. Điều này thật đáng chú ý: e và π, vốn thường xuất hiện trong những bối cảnh riêng biệt, lại được gắn với nhau trong tích phân đơn giản nhất của lý thuyết xác suất.
Tích phân của e^(−x²) trên mọi x bằng √π ≈ 1.7725. Đây là tích phân Gauss. Chia căn này cho √(2π) cho ta đường cong phân phối chuẩn tắc.
Chứng minh này là một trong những thủ pháp thanh nhã nhất của toán học. Gọi I = ∫e^(−x²)dx. Tính I² bằng cách viết nó thành một tích phân kép theo x và y, rồi chuyển sang tọa độ cực r, θ. Khi đó hàm dưới dấu tích phân trở thành e^(−r²) và phần tử diện tích trở thành r·dr·dθ. Nhân tử r làm cho tích phân trở nên sơ cấp: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Nhân tiếp với ∫₀^(2π) dθ = 2π ta được I² = π, nên I = √π.
Phân phối chuẩn, định lý giới hạn trung tâm, các hàm sóng lượng tử (dùng các gói sóng Gauss), và xấp xỉ Stirling cho giai thừa đều dựa trên tích phân duy nhất này. Giá trị √π xuất hiện ở bất cứ nơi nào e^(−x²) được tích phân, mà hóa ra điều đó gần như xảy ra ở khắp mọi nơi trong xác suất liên tục.
Tích phân Gauss: tích phân từ âm vô cực đến dương vô cực của e^(-x^2) dx bằng sqrt(pi). Chứng minh thanh nhã bình phương tích phân, chuyển sang tọa độ cực và tính ra giá trị chính xác. Đây là phép tính then chốt đứng sau phân phối chuẩn: mật độ xác suất (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) có tích phân bằng 1. Hàm Gauss xuất hiện trong cơ học lượng tử, sự khuếch tán nhiệt, xấp xỉ Stirling và định lý giới hạn trung tâm.