Số học mô-đun là số học trên một vòng tròn. Hai số đồng dư theo mô-đun n nếu hiệu của chúng là một bội của n. Đồng hồ thực hiện số học mod 12: 10 giờ sau 5 giờ là 3 chứ không phải 15. Ý tưởng đơn giản này là nền tảng của toàn bộ mật mã hiện đại, các hàm băm, mã sửa lỗi và phần lớn lý thuyết số.
Mỗi hàng và mỗi cột đều chứa {0,1,2,3,4} đúng một lần. Năm phần tử tạo thành một nhóm đóng dưới phép cộng mod 5. Màu đỏ: các tổng quay vòng (≥5).
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Số học mô-đun xác định quan hệ đồng dư: a đồng dư với b theo mod n nếu n chia hết cho a-b. Gauss đã hệ thống hóa nó vào năm 1801. Nó làm nền tảng cho toàn bộ mật mã khóa công khai hiện đại: mã hóa RSA dựa trên Định lý nhỏ Fermat, phát biểu rằng a^(p-1) đồng dư với 1 mod p với mọi số nguyên tố p không chia a. Hàm băm dùng các phép toán mô-đun để ánh xạ đầu vào lớn thành đầu ra có kích thước cố định. Các số nguyên mod n tạo thành một vành đầy đủ; còn khi n là số nguyên tố, chúng tạo thành một trường hữu hạn.