Hằng số Erdős-Borwein E là tổng 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Các mẫu số là các số Mersenne 2ⁿ − 1. Năm 1948, Paul Erdős chứng minh rằng E là vô tỉ, chỉ dùng các tính chất sơ cấp của biểu diễn nhị phân.
Các tổng từng phần hội tụ nhanh về E ≈ 1.6066951524. Các mẫu số 2^n−1 tăng theo cấp số nhân, nên sự hội tụ nhanh hơn nhiều so với bài toán Basel.
Chuỗi hội tụ nhanh theo cấp số nhân: mỗi hạng tử xấp xỉ bằng một nửa hạng tử trước đó (vì 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ khi n lớn). Chỉ sau 20 hạng tử, tổng đã chính xác đến 6 chữ số thập phân. Đẳng thức tương đương E = Σ d(n)/2ⁿ (trong đó d(n) đếm các ước lẻ của n) liên kết nó với lý thuyết chia hết.
Việc E có phải là số siêu việt hay không vẫn còn bỏ ngỏ. Điều khiến chứng minh tính vô tỉ của Erdős đáng nhớ là tính gọn ghẽ của nó: ông dùng thực tế rằng các biểu diễn nhị phân của các mẫu số 1, 3, 7, 15, 31… (tức 1, 11, 111, 1111, 11111 trong hệ nhị phân) có một cấu trúc đặc biệt ngăn tổng trở thành số hữu tỉ. Giá trị của nó là 1.60669515245214159769492939967985…
Mỗi mẫu số 2^n - 1 xấp xỉ gấp đôi mẫu số trước. Tổng hội tụ về E ~1.6066951524.
Hằng số Erdős-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Paul Erdős đã chứng minh nó là vô tỉ vào năm 1948 bằng các tính chất nhị phân của các mẫu số 2^n - 1. Nó cũng bằng tổng d(n)/2^n với d(n) là số ước lẻ của n. Chuỗi hội tụ rất nhanh: mỗi hạng tử xấp xỉ bằng một nửa hạng tử trước. Việc nó có phải là số siêu việt hay không vẫn chưa biết. Giá trị: 1.60669515245214159769492939967985...