φ (phi) là nghiệm dương của phương trình x² = x + 1. Phương trình này có ý nghĩa hình học: nếu bạn chia một đoạn thẳng sao cho tỷ số giữa toàn bộ đoạn với phần dài hơn bằng tỷ số giữa phần dài hơn với phần ngắn hơn, thì tỷ số đó là φ. Không có số nào khác có tính chất tự đồng dạng này.
Bảng các tỷ số Fibonacci hội tụ về phi
| Cặp Fibonacci | tỷ số | khoảng cách tới φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Tỷ lệ vàng xuất hiện trong ngũ giác đều và ngôi sao năm cánh, nơi các đường chéo cắt nhau theo tỷ lệ vàng. Mỗi số Fibonacci chia cho số đứng trước nó sẽ tiến dần đến φ. Phân số liên tục [1; 1, 1, 1, …] là phân số liên tục vô hạn đơn giản nhất: toàn số 1. Điều này khiến φ trở thành số khó xấp xỉ bằng phân số nhất, nên nó được gọi là "số vô tỉ nhất".
Cắt một hình vuông ra khỏi một hình chữ nhật vàng. Phần còn lại là một hình chữ nhật vàng khác, nhỏ hơn theo hệ số 1/φ. Lặp lại mãi mãi. Cung tròn vạch nên xoắn ốc vàng thấy trong vỏ sò và thiên hà.
φ thỏa φ² = φ + 1, nên φ = 1 + 1/φ. Thay lặp đi lặp lại, ta được: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Phân số liên tục vô hạn toàn số 1 này vừa là định nghĩa vừa là lý do cho địa vị "vô tỉ nhất" của nó. Tính đến đầy đủ độ chính xác: 1.61803398874989484820…
Trong một ngũ giác đều có cạnh dài 1, mỗi đường chéo có độ dài φ ≈ 1.618. Các đường chéo cũng chia nhau theo tỷ lệ vàng. Vẽ cả năm đường chéo sẽ được một ngôi sao năm cánh, bản thân nó cũng đầy những tỷ lệ vàng.
Tỷ lệ vàng phi xấp xỉ 1.61803398874989484820. Nó là nghiệm dương của phương trình x² = x + 1. Phi là số vô tỉ, đại số, và là giới hạn của tỷ số giữa các số Fibonacci liên tiếp. Nó xuất hiện trong ngũ giác đều và khối hai mươi mặt, trong các xoắn hạt hoa hướng dương, và trong những tỷ lệ được nghiên cứu từ thời Hy Lạp cổ đại. Phân số liên tục [1; 1, 1, 1, ...] khiến nó trở thành số thực khó xấp xỉ nhất bằng phân số, đó là lý do phyllotaxis sử dụng góc vàng suy ra từ phi.
Tỷ lệ vàng φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the công thức bậc hai.