√2 là độ dài đường chéo của một hình vuông đơn vị. Đặt một hình vuông có cạnh dài 1 lên bàn. Khoảng cách từ một góc đến góc đối diện đúng bằng √2. Đây là định lý Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
Các nhà Pythagoras vào khoảng năm 500 TCN đã phát hiện ra rằng √2 không thể biểu diễn thành một phân số p/q với p và q là các số nguyên. Chứng minh phản chứng rất đẹp: giả sử √2 = p/q ở dạng tối giản. Khi đó 2q² = p², nên p² là số chẵn, suy ra p là số chẵn, viết p = 2k. Khi ấy 2q² = 4k², nên q² = 2k², vậy q cũng là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với việc p/q đã tối giản. Vậy √2 là vô tỉ.
Các phân số hội tụ từ phân số liên tục [1; 2, 2, 2, …]. Mỗi phân số là xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất với mẫu số đó.
Các phân số hội tụ của căn bậc hai của 2 từ phân số liên tục
| phân số | thập phân | sai số |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 là số đại số (vì nó thỏa x² = 2) nhưng vô tỉ. Trong lượng giác: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Loạt giấy A (A4, A3, A2…) dùng tỷ lệ 1:√2, để khi gấp đôi một tờ giấy thì các tỷ lệ vẫn giữ nguyên. Tính đến đầy đủ độ chính xác: 1.41421356237309504880168872…
Mỗi tam giác vuông có một cạnh bằng cạnh huyền trước đó và một cạnh bằng 1. Các cạnh huyền lần lượt là √1, √2, √3, √4, √5… Phần lớn là vô tỉ. √2 (màu đỏ) là số đầu tiên được chứng minh là vô tỉ, bởi các nhà Pythagoras khoảng năm 500 TCN.
Căn bậc hai của 2 xấp xỉ 1.41421356237309504880. Đây là số đầu tiên từng được chứng minh là vô tỉ, bởi người Hy Lạp cổ khoảng năm 500 TCN. Nó là số đại số, thỏa x² = 2. Nó xuất hiện như độ dài đường chéo của một hình vuông đơn vị, trong chỉnh âm bình quân của âm nhạc (mỗi nửa cung nhân tần số với căn bậc mười hai của 2), trong kích thước giấy hệ A (gấp A4 sẽ thành A5 với cùng tỷ lệ), và trong định lý Pythagoras mỗi khi hai cạnh góc vuông bằng nhau.
Căn bậc hai của 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the phân số liên tục.