Hằng số Gelfond là e được nâng lên lũy thừa π. Giá trị xấp xỉ của nó là 23.14069263277927… Việc chứng minh nó là số siêu việt chính là bài toán thứ 7 của Hilbert, được nêu ra năm 1900 như một trong 23 câu hỏi chưa giải nổi quan trọng nhất của thế kỷ 20. Alexander Gelfond đã giải nó vào năm 1934.
e^π nằm gần 23 một cách rất gợi tò mò nhưng vẫn lệch 0.14. Sự trùng hợp e^π - π ≈ 19.999 còn gần hơn, nhưng cũng không mang ý nghĩa đã biết nào.
Định lý Gelfond-Schneider (1934) phát biểu: nếu a là số đại số, khác 0 và 1, còn b là số đại số vô tỉ, thì a^b là số siêu việt. Hằng số Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Ở đây a = −1 (đại số) và b = −i (đại số và vô tỉ). Định lý áp dụng trực tiếp.
Bảng cho thấy các ví dụ về những số được chứng minh là siêu việt bởi định lý Gelfond-Schneider
| Biểu thức | a | b | Kết quả |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | siêu việt |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | siêu việt |
| √2^√2 | √2 | √2 | siêu việt |
Giá trị gần-nguyên e^π − π ≈ 19.9990999 chưa có lời giải thích toán học nào được biết đến. Có lẽ đó chỉ là một sự trùng hợp, nhưng những sự trùng hợp tương tự (như hằng số Ramanujan) đôi khi lại hóa ra có nguyên nhân sâu sắc. e^π đã được tính đến hàng triệu chữ số thập phân: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Điều này có thể chứng minh mà không cần máy tính: hàm x^(1/x) đạt cực đại tại x=e, nên e^(1/e) > π^(1/π), từ đó suy ra e^π > π^e.
Hằng số Gelfond e^pi ≈ 23.14069. Việc chứng minh nó là siêu việt chính là bài toán thứ 7 của Hilbert (1900). Gelfond đã giải nó vào năm 1934: nếu a là số đại số (khác 0 hoặc 1) và b là số đại số vô tỉ, thì a^b là số siêu việt. Vì e^pi = (-1)^(-i), còn -1 và -i đều là số đại số với -i là vô tỉ, nên định lý áp dụng được. Sự gần-trùng-hợp e^pi - pi ≈ 19.999 chưa có lời giải thích toán học nào được biết đến.