Một phân số liên tục biểu diễn một số dưới dạng một số nguyên cộng với nghịch đảo của một phân số liên tục khác. Mọi số thực đều có một khai triển phân số liên tục duy nhất. Số hữu tỉ thì kết thúc; số vô tỉ bậc hai thì lặp tuần hoàn; các số siêu việt như pi thì không có quy luật. Các phân số hội tụ (xấp xỉ hữu tỉ tạo ra bằng cách cắt ngắn) được chứng minh là những xấp xỉ tốt nhất trong số các phân số có mẫu số cỡ đó.
Bảng so sánh phân số liên tục của phi, sqrt2, e và pi, cho thấy số nào tuần hoàn và số nào bất quy tắc
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Định lý: một phân số liên tục là tuần hoàn khi và chỉ khi số đó là một số vô tỉ bậc hai (Lagrange, 1770) | ||
| phi là số "khó" xấp xỉ nhất: phân số liên tục toàn số 1 của nó cho tốc độ hội tụ tệ nhất có thể |
Bảng các phân số hội tụ của pi cho thấy các xấp xỉ hữu tỉ ngày càng chính xác với mẫu số nhỏ
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Các phân số hội tụ 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 luân phiên nằm trên và dưới π. Mỗi phân số là xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất với mẫu số đó hoặc nhỏ hơn.
Mọi số thực đều có một khai triển phân số liên tục duy nhất. Số hữu tỉ có khai triển hữu hạn. Các số vô tỉ bậc hai (như sqrt(2) và phi) có khai triển cuối cùng tuần hoàn. Các số siêu việt như pi thì không có quy luật. Các phân số hội tụ của một phân số liên tục là những xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất: 22/7 và 355/113 là các phân số hội tụ của pi, khớp nó tới lần lượt 2 và 6 chữ số thập phân. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] là số khó xấp xỉ nhất, nên theo một nghĩa chính xác nó là số vô tỉ nhất.