e là con số duy nhất mà hàm eˣ có đạo hàm đúng bằng chính nó. Bắt đầu với một lượng bất kỳ và để nó tăng trưởng liên tục ở mức 100% mỗi năm. Sau đúng một năm, bạn có e lần số ban đầu. Không có cơ số nào khác có tính chất tự quy chiếu này.
Khi n tăng, dãy tiến đến e từ phía dưới, hội tụ về 2.71828182845904…
Bảng cho thấy (1+1/n)^n hội tụ về e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | khoảng cách tới e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
Cách hiểu qua lãi kép: nếu một ngân hàng trả lãi suất 100% mỗi năm nhưng nhập lãi n lần mỗi năm, thì số dư của bạn tăng theo (1 + 1/n)ⁿ. Nhập lãi hàng tháng cho 2.613. Nhập lãi mỗi giây cho 2.718. Nhập lãi liên tục cho đúng bằng e.
Tại x=1, độ cao của đường cong là e ≈ 2.718 và độ dốc của tiếp tuyến cũng là e. Không có cơ số b^x nào khác có tính chất này.
Jacob Bernoulli phát hiện ra e vào năm 1683 khi nghiên cứu lãi kép. Euler đặt tên nó là e vào năm 1731. Nó là số vô tỉ (Euler, 1737) và siêu việt (Hermite, 1873). Khai triển thập phân 2.71828182845904523536… không bao giờ lặp lại.
Bắt đầu với 1 đô la ở lãi suất 100% mỗi năm: nhập lãi hàng tháng cho 2.613 đô la, hàng ngày 2.714 đô la, mỗi giây 2.718 đô la. Giới hạn khi n→∞ chính là e.
e (số của Euler) xấp xỉ 2.71828182845904523536. Đây là con số duy nhất mà hàm e^x bằng chính đạo hàm của nó tại mọi điểm. Jacob Bernoulli phát hiện ra nó năm 1683 khi nghiên cứu lãi kép. Leonhard Euler đặt tên e vào khoảng năm 1731. e là số vô tỉ (Euler, 1737) và số siêu việt (Hermite, 1873). Nó xuất hiện trong tăng trưởng và suy giảm liên tục, logarit tự nhiên, phân bố chuẩn, lãi kép, phân rã phóng xạ và đẳng thức Euler e^(i*pi) + 1 = 0.
Số e của Euler is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the chuỗi taylor.