Định lý De Moivre nói rằng việc nâng một điểm trên đường tròn đơn vị lên lũy thừa n chỉ đơn giản là nhân góc của nó với n. Nếu bạn bắt đầu ở góc θ và áp dụng phép toán đó n lần, bạn sẽ đến góc nθ. Độ dài từ gốc tọa độ không đổi nếu bạn đang ở trên đường tròn đơn vị, nên phép toán này vừa đơn giản vừa mang tính hình học.
Bắt đầu ở góc θ=40° trên đường tròn đơn vị. Bình phương làm góc tăng gấp đôi lên 80° (màu xanh lá). Lập phương làm góc tăng gấp ba lên 120° (màu đỏ). Điểm chỉ đơn giản quay đi: khoảng cách từ nó tới gốc vẫn giữ nguyên.
Định lý này suy ra ngay từ công thức Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Nâng hai vế lên lũy thừa n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre đã nêu kết quả của mình trước khi ký hiệu mũ phức hiện đại được phát triển đầy đủ, nhưng công thức Euler về sau đã khiến mối liên hệ trở nên trong suốt.
Sáu nghiệm bậc 6 của 1 tạo thành một hình lục giác đều trên đường tròn đơn vị. Các nghiệm bậc n của z^n = 1 luôn tạo thành một n-giác đều, cách đều nhau ở các góc 2πk/n = τk/n.
Định lý De Moivre là công cụ then chốt để tính các lũy thừa và căn bậc của số phức, suy ra các công thức góc bội (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ), và tìm n nghiệm của phương trình zⁿ = 1 nằm cách đều nhau. Nó biến phép nhân số phức thành cộng góc và nhân độ lớn.
Khi bạn nhân hai số phức, các góc (đối số) của chúng cộng lại và độ lớn của chúng nhân với nhau. Nếu cả hai số đều nằm trên đường tròn đơn vị (độ lớn bằng 1), chỉ còn lại phép quay.
Định lý De Moivre cho thấy cos(n*theta) luôn có thể được viết thành một đa thức theo cos(theta). Đó chính là các đa thức Chebyshev loại một. Chúng giữ vai trò trung tâm trong xấp xỉ, giải tích số và lý thuyết dao động.