Chuỗi điều hòa 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ là phân kỳ, nhưng nó tăng cực kỳ chậm. Sau một triệu số hạng nó mới chỉ đạt khoảng 14. Logarit tự nhiên ln(n) tăng với cùng tốc độ. Hằng số Euler-Mascheroni γ chính là khoảng chênh chính xác giữa chúng: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Hiệu giữa tổng điều hòa và ln(n) tiến đến γ ≈ 0.5772 khi n → ∞. Sự hội tụ rất chậm – khoảng chênh vẫn còn cỡ 0.001 khi n = 1000.
γ xuất hiện khắp giải tích và lý thuyết số. Nó nối chuỗi điều hòa với hàm zeta Riemann: γ = -ζ'(1) theo nghĩa hình thức. Nó xuất hiện trong hàm Gamma qua Γ'(1) = -γ, trong phân bố khoảng cách giữa các số nguyên tố, trong các hàm Bessel, và trong khai triển tiệm cận của hàm digamma.
Việc γ là hữu tỉ hay vô tỉ là một trong những bài toán mở lâu đời nhất của toán học. Gần như mọi nhà toán học đều tin rằng nó là số siêu việt, nhưng chưa có chứng minh nào. Nó đã được tính tới hơn 600 tỷ chữ số thập phân: 0.57721566490153286060651209008240243…
Các tổng riêng điều hòa H(n) (đỏ, dạng bậc thang) so với ln(n)+γ (xanh, trơn). Khoảng cách giữa chúng tiến về 0 nhưng có dao động: H(n)−ln(n) → γ.
Hằng số Euler-Mascheroni gamma xấp xỉ 0.57721566490153286060. Việc nó là hữu tỉ hay vô tỉ vẫn chưa biết, đây là một trong những bài toán mở nổi tiếng nhất của toán học. Euler công bố nó lần đầu năm 1734; Mascheroni tính lại độc lập năm 1790. Gamma xuất hiện trong hàm Gamma, hàm zeta Riemann, định lý Mertens về tích trên số nguyên tố, các hàm Bessel và phân bố các khoảng cách giữa số nguyên tố. Vì không tồn tại thuật toán phát trực tiếp, các chữ số của nó được tiền tính toán và lưu sẵn.
Hằng số Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the giới hạn của chuỗi điều hòa.