Một số là vô tỉ nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng phân số p/q với p và q là số nguyên. Khai triển thập phân của nó không bao giờ kết thúc và cũng không bao giờ lặp lại. sqrt(2), pi, e và phi đều là số vô tỉ. Chúng không phải ngoại lệ hay điều kỳ quặc: phần lớn áp đảo các số thực đều là số vô tỉ.
Xanh lam: các số hữu tỉ (phân số chính xác). Đỏ: các số vô tỉ (thập phân không lặp). Giữa bất kỳ hai số hữu tỉ nào cũng có một số vô tỉ, và ngược lại.
Bảng so sánh số hữu tỉ có thập phân tuần hoàn hoặc kết thúc với số vô tỉ có thập phân không lặp và không kết thúc
| RATIONAL: terminates or repeats | IRRATIONAL: never repeats |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| terminates | no pattern, ever |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| repeating block: {3} | no pattern, ever |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| repeating block: {142857} | no pattern, ever |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| repeating block: {45} | no pattern, ever |
Các số hữu tỉ, dù có vô hạn phần tử, vẫn có thể được liệt kê (chúng là đếm được). Các số vô tỉ thì không thể được liệt kê. Nếu bạn chọn ngẫu nhiên một số thực, xác suất để nó là hữu tỉ đúng bằng 0.
Một số là vô tỉ nếu nó không thể được viết thành phân số p/q với p và q là số nguyên. Khai triển thập phân của nó không bao giờ kết thúc và không bao giờ lặp lại. Người Pythagoras đã chứng minh sqrt(2) là vô tỉ khoảng năm 500 TCN, một khám phá gây chấn động vào thời đó. Lambert chứng minh pi là vô tỉ năm 1761, và Euler chứng minh e là vô tỉ năm 1737. Phần lớn các số thực là vô tỉ: số hữu tỉ là vô hạn đếm được còn số vô tỉ là không đếm được, nên chọn ngẫu nhiên một số thực sẽ cho số vô tỉ với xác suất 1. Các số vô tỉ đại số thỏa mãn phương trình đa thức; các số siêu việt thì không.