tổng của TẤT CẢ các ước số (kể cả n) bằng hai lần chính số đó
Một số hoàn hảo bằng tổng của mọi ước số thực sự của nó (tức mọi ước số ngoại trừ chính nó). 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Chúng cực kỳ hiếm: chỉ mới biết 51 số, tất cả đều chẵn, và chúng lớn nhanh đến mức khổng lồ. Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào hay không vẫn là một trong những bài toán mở lâu đời nhất của toán học.
Bốn số hoàn hảo đầu tiên: chân dung các ước số
Định lý Euclid–Euler: số hoàn hảo chẵn ↔ số nguyên tố Mersenne
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
where 2^p − 1 is a Mersenne prime
Euclid chứng minh chiều →. Euler chứng minh chiều ←. Cả 51 số hoàn hảo đã biết đều là số chẵn và đều xuất phát từ công thức này. Hiện vẫn chưa biết số hoàn hảo lẻ có tồn tại hay không.
Các số hoàn hảo trên thang log: chúng tăng nhanh hơn hàm mũ
Các giá trị được hiển thị theo log10. Ngay cả trên thang log, mỗi bước nhảy vẫn lớn hơn rất mạnh. Số hoàn hảo thứ 51 có hơn 49 triệu chữ số.
Một số hoàn hảo bằng tổng các ước số thực sự của nó: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclid chỉ ra rằng 2^(p-1)*(2^p-1) là số hoàn hảo bất cứ khi nào 2^p-1 là số nguyên tố. Euler đã chứng minh chiều ngược lại: mọi số hoàn hảo chẵn đều có dạng này. Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào hay không là một trong những bài toán chưa giải lâu đời nhất; chưa từng tìm thấy số nào. Hiện chỉ biết 51 số hoàn hảo, tất cả đều chẵn, tương ứng với 51 số nguyên tố Mersenne đã biết.