Công thức xấp xỉ Stirling nói rằng với n lớn, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Việc cả π lẫn e cùng xuất hiện trong một công thức đếm hoán vị là điều rất nổi bật. Với n = 10, sai số dưới 1%. Với n = 100, sai số dưới 0.1%. Công thức ngày càng chính xác vô hạn khi n tăng.
Sai số tương đối |n! − Stirling(n)| / n! giảm xuống dưới 1% tại n = 8 và dưới 0.1% tại n = 80. Với n lớn, công thức Stirling hầu như chính xác tuyệt đối.
Năm 1730, Abraham de Moivre tìm ra rằng n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ với một hằng số C nào đó. Cùng năm đó, James Stirling xác định C = √(2π). Nhân tử √(2π) xuất hiện từ tích phân Gauss: khi suy ra công thức Stirling qua hàm Gamma, tích phân ∫e^(-t²)dt = √π xuất hiện và mang π vào công thức.
Dạng logarit được dùng khắp vật lý: trong cơ học thống kê, công thức entropy của Boltzmann S = k·ln(W) cần ln(N!) với N rất lớn (số mol hạt). Công thức Stirling cho ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, khiến phép tính trở nên khả thi. Chuỗi tiệm cận đầy đủ thêm các hiệu chỉnh: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
Trên thang log, n! và công thức xấp xỉ Stirling gần như trùng nhau về mặt hình ảnh. Sai số tương đối tiến về 0 khi n tăng.