Một số là siêu việt nếu nó không phải nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào có hệ số nguyên. Pi không thỏa mãn phương trình nào như x^2 - 3x + 1 = 0. e cũng không thỏa mãn phương trình nào như vậy. Chúng tồn tại vượt ra ngoài tầm với của đại số. Dù hiếm khi được gọi tên, các số siêu việt mới là quy luật chứ không phải ngoại lệ: gần như mọi số thực đều là siêu việt.
Mọi số hữu tỉ đều là số đại số. Mọi số đại số đều là số thực. Nhưng các số siêu việt, tức những số nằm ngoài vành đại số, nhiều hơn rất nhiều so với toàn bộ các số đại số cộng lại.
Từ cấu tạo nhân tạo của Liouville (1844) đến định lý Gelfond-Schneider (1934), lý thuyết siêu việt đã phát triển từ một sự hiếu kỳ thành một nhánh lớn của lý thuyết số.
Bảng cho thấy các số đại số với đa thức tối tiểu của chúng đối lập với các số siêu việt không có đa thức như vậy
| SỐ | ĐA THỨC TỐI TIỂU |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | không tồn tại đa thức nào |
| e = 2.71828... | không tồn tại đa thức nào |
| e^pi = 23.1406... | không tồn tại đa thức nào |
Một số là siêu việt nếu nó không thỏa mãn phương trình đa thức nào có hệ số nguyên. Liouville đã đưa ra ví dụ tường minh đầu tiên vào năm 1844. Hermite chứng minh e là siêu việt năm 1873. Lindemann chứng minh pi là siêu việt năm 1882, cuối cùng khép lại bài toán cổ xưa cầu phương hình tròn bằng kết luận rằng điều đó là bất khả. Định lý Gelfond-Schneider (1934) cho thấy a^b là siêu việt bất cứ khi nào a là đại số và khác 0,1 còn b là đại số và vô tỉ. Dù là quy luật chứ không phải ngoại lệ, việc chứng minh một số cụ thể là siêu việt vẫn vô cùng khó khăn.