Bài toán Basel hỏi: giá trị chính xác của 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ là bao nhiêu? Chuỗi này hội tụ, nhưng hội tụ về đâu? Pietro Mengoli đã nêu nó vào năm 1650. Nó làm bó tay mọi nhà toán học trong 84 năm cho đến khi Euler giải được vào năm 1734 ở tuổi 28.
Các tổng riêng tiến dần đến π²/6 ≈ 1.6449 một cách chậm rãi. Euler đã chứng minh giới hạn bằng π²/6 vào năm 1734, nối giải tích với hình học.
Chứng minh của Euler phân tích chuỗi Taylor của sin(x)/x thành một tích vô hạn theo các nghiệm ±π, ±2π, ±3π… So sánh hệ số x² của dạng tích với hệ số Taylor cho ta trực tiếp Σ 1/n² = π²/6. Đây là một trong những phép tính được ca ngợi nhất trong toán học, và lý do π xuất hiện ở đây không phải là ngẫu nhiên: đường tròn và mặt cầu có những liên hệ tự nhiên với các tổng số nguyên thông qua hàm zeta Riemann.
Mỗi số hạng 1/n^2 giảm rất nhanh. Tổng của chúng hội tụ chính xác về pi^2/6 ~1.6449.
Kết quả này còn khái quát hơn: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, và mọi giá trị zeta chẵn đều là các bội hữu tỉ của những lũy thừa của π. Các giá trị lẻ ζ(3), ζ(5), ζ(7)… bí ẩn hơn nhiều. Apéry đã chứng minh ζ(3) là vô tỉ vào năm 1978, nhưng chưa biết dạng đóng nào theo π.
Xác suất để hai số nguyên được chọn ngẫu nhiên không có ước chung nào (tức nguyên tố cùng nhau) chính xác là 6/pi^2, nghịch đảo của pi^2/6. Giá trị này xấp xỉ 60.8%. Nó nối trực tiếp bài toán Basel với lý thuyết số và xác suất.