Định lý cơ bản của giải tích nối hai ý tưởng tưởng như tách rời nhau. Phần 1: nếu bạn tích phân một hàm từ một điểm cố định đến x, thì đạo hàm của tích phân đó chính là hàm gốc. Phần 2: tích phân xác định từ a đến b có thể tính bằng cách lấy một nguyên hàm rồi trừ giá trị ở hai đầu mút.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. Nguyên hàm F(x) = x³/3 cho diện tích chính xác mà không cần xấp xỉ.
Trước định lý này, việc tính diện tích đòi hỏi các tổng Riemann: chia miền thành các hình chữ nhật mỏng, cộng chúng lại rồi lấy giới hạn. FTC thay tất cả việc đó bằng đúng một phép trừ. Khách mớiton hiểu điều này về mặt vật lý, Leibniz thì xây dựng ký hiệu làm nó trở nên thực dụng.
Mọi tích phân được dạy trong các khóa giải tích đều dùng Phần 2: tìm nguyên hàm, thế cận, lấy hiệu. Điều này hoạt động vì đạo hàm và tích phân là hai phép nghịch đảo chính xác của nhau. Đây là một trong những ví dụ đẹp nhất trong toán học về việc hai ý tưởng được tạo ra độc lập hóa ra lại là hai mặt của cùng một quá trình.
Một tổng Riemann với 8 hình chữ nhật cho ≈ 0.273. Đáp án chính xác là 8/3 ≈ 2.667. Định lý cơ bản cho kết quả chính xác mà không cần bất kỳ hình chữ nhật nào.
Công do một lực biến thiên F(x) thực hiện khi vật dịch chuyển từ a đến b là W = tích phân từ a đến b của F(x) dx = P(b) - P(a), trong đó P là thế năng. FTC vì vậy biến “cộng dồn vô hạn lực vi phân” thành một hiệu đơn giản giữa hai đầu trạng thái.