Tích Wallis là gì?

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)
π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ Wallis, 1655.

Tích Wallis viết π/2 dưới dạng một tích vô hạn của các phân số đơn giản: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Mỗi số chẵn xuất hiện hai lần, một lần lớn hơn và một lần nhỏ hơn các số lân cận. Nhân đủ nhiều số hạng, tích này hội tụ về π/2 ≈ 1.5708.

Các tích riêng Wallis tiến dần tới π/2
1.331.41.471.54π/2W(n)151014n

Tích Wallis: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... Các tích riêng hội tụ tới π/2 ≈ 1.5708 từ bên dưới, dao động quanh giới hạn.

John Wallis đã suy ra công thức này vào năm 1655 từ tích phân ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, bằng cách so sánh các trường hợp n chẵn và n lẻ. Điều làm nó đáng kinh ngạc là nó suy ra π từ phép nhân thuần túy và giải tích, thay vì từ hình học. Đây là công thức tích đầu tiên cho π.

Tích Wallis: các phân số chẵn xen kẽ
π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…
= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)
Wallis đã suy ra điều này năm 1655 bằng cách so sánh các tích phân của lũy thừa sin(x). Đây là công thức tích đầu tiên cho π.

Tích Wallis hội tụ rất chậm: sau n cặp số hạng, sai số có bậc 1/(4n). Nó có tầm quan trọng lý thuyết rất lớn như một trong những tích vô hạn đầu tiên từng được nghiên cứu, và nó liên kết giải tích, giai thừa, tích phân và π thành một công thức duy nhất.

Các tích phân của sin^n(x) từ 0 đến π/2: mẫu hình chẵn/lẻ tạo ra Wallis
0.530.881.221.57∫₀^(π/2) sinⁿx dx0235n

n chẵn: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. n lẻ: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. Tỉ số của các tích phân kề nhau I(2n)/I(2n+1) → 1, cho ra tích Wallis.

Chủ đề liên quan
Pi Tích phân Gauss Basel
Được dùng trong
Toán học
Vật lý
Kỹ thuật
🧬Sinh học
💻Khoa học máy tính
📊Thống kê
📈Tài chính
🎨Nghệ thuật
🏛Kiến trúc
Âm nhạc
🔐Mật mã học
🌌Thiên văn học
Hóa học
🦉Triết học
🗺Địa lý
🌿Sinh thái học
Want to test your knowledge?
Question
Viết tích Wallis dưới dạng khép kín.
tap · space
1 / 10