Hãy cộng các nghịch đảo của mọi số nguyên tố không vượt quá n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Tổng này tăng, nhưng cực kỳ chậm: theo ln(ln(n)). Hằng số Meissel-Mertens M là khoảng chênh chính xác giữa tổng ấy và số hạng trội của nó, cũng như hằng số Euler-Mascheroni γ là khoảng chênh giữa chuỗi điều hòa và ln(n).
Euler đã chứng minh vào năm 1737 rằng tổng các nghịch đảo của mọi số nguyên tố là phân kỳ. Điều này khó hơn nhiều so với việc chứng minh có vô số số nguyên tố, và cho ta một cảm nhận định lượng về mức độ dày đặc của các số nguyên tố. Định lý Mertens khi đó nói rằng Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), nên M là hằng số chính xác của số hạng không đổi.
So sánh song song giữa hằng số Euler-Mascheroni và hằng số Meissel-Mertens
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| Mọi số nguyên | Chỉ các số nguyên tố |
M và γ liên hệ với nhau qua công thức M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Chưa biết hằng số nào trong hai hằng số này có phải là số vô tỉ hay không. Cả hai đều đã được tính đến hàng tỷ chữ số thập phân và đều được tin là siêu việt, nhưng chưa có chứng minh nào cho cả hai. M: 0.261497212847642783755426838608669…
Tổng điều hòa (màu xanh): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Tổng nghịch đảo số nguyên tố (tăng như ln(ln(n))+M): chỉ 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 tại cùng các mốc.
Hằng số Euler-Mascheroni gamma đo khoảng chênh giữa chuỗi điều hòa (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) và ln(n). Hằng số Meissel-Mertens M đóng đúng vai trò đó cho tổng các nghịch đảo số nguyên tố (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) so với ln(ln(n)). Cả hai đều là những hằng số “hiệu chỉnh sai số” cho các chuỗi phân kỳ tăng theo logarit.
Hằng số Meissel-Mertens M ≈ 0.26149 đóng vai trò đối với các nghịch đảo số nguyên tố giống như hằng số Euler-Mascheroni đối với chuỗi điều hòa. Mertens đã chứng minh năm 1874 rằng 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + một sai số nhỏ. Chưa biết M có vô tỉ hay không. Nó xuất hiện trong định lý Mertens về các tích trên số nguyên tố và trong mật độ của các số smooth. M và gamma liên hệ với nhau bằng một tổng cụ thể lấy trên mọi số nguyên tố.