Chuỗi Taylor biểu diễn một hàm trơn dưới dạng một đa thức vô hạn. Mỗi hệ số là một đạo hàm: số hạng thứ n là f⁽ⁿ⁾(a)/n! nhân với (x-a)ⁿ. Với các hàm “ngoan” như eˣ, sin(x) và cos(x), chuỗi hội tụ đến đúng giá trị của hàm ở mọi nơi.
Mỗi số hạng thêm vào sẽ mở rộng vùng xấp xỉ xa hơn. Thêm nhiều số hạng hơn: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Ba chuỗi Maclaurin quan trọng nhất: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (hội tụ ở mọi nơi); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (hội tụ ở mọi nơi); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (hội tụ ở mọi nơi). Thay x = iπ vào chuỗi eˣ sẽ tạo ra đồng nhất thức Euler.
Bảng các chuỗi Maclaurin
| f(x) | Chuỗi | Bán kính |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor phát biểu định lý tổng quát năm 1715; trường hợp đặc biệt tâm ở 0 được Colin Maclaurin phổ biến năm 1742. Mọi máy tính cầm tay và máy tính điện tử đều dùng chuỗi Taylor để tính các hàm siêu việt. Sai số sau n số hạng được chặn bởi phần dư Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)| · |x-a|^(n+1)/(n+1)! với một ξ nào đó giữa a và x.
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Mỗi cặp số hạng thêm vào là thêm một bậc chính xác.
Một chuỗi Taylor biểu diễn một hàm trơn dưới dạng đa thức vô hạn: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Các hệ số là các đạo hàm tại điểm tâm a. Chuỗi Maclaurin là trường hợp tâm tại 0. Ba chuỗi quan trọng nhất là e^x, sin(x) và cos(x). Chuỗi Taylor nằm dưới hầu như mọi phép tính số đối với logarit, lũy thừa, lượng giác, xác suất và vật lý.