Chuỗi điều hòa là tổng của mọi phân số đơn vị. Mỗi số hạng 1/n đều tiến về 0, điều này có thể khiến ta nghĩ rằng tổng sẽ hội tụ, nhưng không phải vậy. Chứng minh dùng cách nhóm: 1/3+1/4 > 1/2, rồi 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, và mỗi nhóm như thế đều đóng góp ít nhất 1/2, nên tổng cuối cùng vượt qua mọi cận. Tuy vậy, nó phân kỳ cực kỳ chậm: để đạt tổng riêng bằng 100 cần nhiều số hạng hơn số nguyên tử trong vũ trụ quan sát được.
H(n) và ln(n) tăng cùng nhau, luôn chênh nhau xấp xỉ γ ≈ 0.5772. Cả hai đều phân kỳ: để đạt H(n) = 100 cần khoảng 10^43 số hạng.
~10^43 số hạng là cần thiết để đạt H(n)=100. Nhiều hơn số nguyên tử trong vũ trụ quan sát được.
Chuỗi điều hòa 1 + 1/2 + 1/3 + ... là chuỗi phân kỳ, được Nicole Oresme chứng minh khoảng năm 1350. Dù mọi số hạng đều tiến về 0, tổng vẫn vượt qua mọi cận. Các tổng riêng tăng như ln(n) + gamma, trong đó gamma ≈ 0.5772 là hằng số Euler-Mascheroni. Sau một triệu số hạng tổng mới chỉ khoảng 14. Để đạt 100 cần hơn 10^43 số hạng. Chuỗi luân phiên 1 - 1/2 + 1/3 - ... lại hội tụ về ln 2.