Viết π(n) cho số lượng số nguyên tố không vượt quá n. Định lý số nguyên tố nói rằng π(n) tăng như n/ln(n). Khi n lớn dần, xấp xỉ cứ mỗi ln(n) số gần n thì có 1 số nguyên tố. Gần một triệu, khoảng 1 trong 14 số là nguyên tố. Gần một tỷ, là 1 trong 21.
π(n) đếm các số nguyên tố không vượt quá n (đường bậc thang màu xanh). Định lý số nguyên tố nói rằng π(n) ~ n/ln(n) – tỉ số → 1 khi n → ∞. Tích phân lôgarit Li(n) còn gần hơn nữa.
Gauss đã phỏng đoán kết quả này vào khoảng năm 1800 sau khi nghiên cứu các bảng số nguyên tố. Nó được Jacques Hadamard và Charles-Jean de la Vallée Poussin chứng minh độc lập vào năm 1896, cả hai đều dùng hàm zeta Riemann và giải tích phức. Một chứng minh hoàn toàn sơ cấp (không dùng giải tích phức) được Selberg và Erdős tìm ra độc lập vào năm 1948.
Bảng cho thấy mật độ các số nguyên tố ở nhiều thang độ khác nhau
| Đến n | Số nguyên tố π(n) | Mật độ ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 trong 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 trong 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 trong 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 trong 28 |
Giả thuyết Riemann sẽ cho cận sắc nhất cho sai số: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Nếu chưa có nó, ta chỉ biết sai số là o(n/ln(n)). Đây là lý do Giả thuyết Riemann là bài toán mở quan trọng nhất của toán học: nó sẽ cho biết chính xác các khoảng trống giữa các số nguyên tố có thể dự đoán tới mức nào.
Một xấp xỉ chính xác hơn cho pi(n) so với n/ln(n) là tích phân lôgarit Li(n) = integral dt/ln(t) từ 2 đến n. Với n lớn, Li(n) theo sát hàm đếm số nguyên tố sát hơn nhiều. Giả thuyết Riemann về bản chất nói rằng sai số giữa pi(n) và Li(n) là nhỏ gần như mức có thể.